一道课本习题的再探索
梁海龙
作为初中数学教师，把握中考的命题方向尤为重要。在我们平时的教学过程中，对课本的例题、习题的教学，就应该有足够的重视；要不断的对题型进行归纳、总结、探索；并注重题型的引申与拓展，挖掘其所蕴含的深层内涵。强化技能的训练、方法的引导，实现知识的跨越。为此，我们要不断地对课本知识进行开放、变式、拓展等形式的训练。
在对人教版八年级上《等腰三角形》这一部分习题内容的讲解过程中，结合近几年各省市的中考题型，现就以等腰三角形的相关问题为载体，进行归纳和总结，望同仁们提出宝贵意见。
例：如图，已知B是线段AD上一点，分别以AB、BD为一边，在AD的同一侧作等边△ABC和等边△BDE,连接AE、CD相交于点O,交CB于M，交BE于点N。连接MN、OB相交于点P。
求证：1>△ABE≌△CBD 2>AE=CD
3>∠BAE=∠BCD 4> ∠BEA =∠BDC
简析：以上所求的四个结论只要证明1中的结论成立即可。因为△ABC和△BDE均是等边三角形,所以 AB=BC,BE=BD,∠ABE=∠CBD=120°;所以△ABE≌△CBD(SAS).所以AE=CD,∠BAE=∠BCD ,∠BEA =∠BDC.这些问题也可以由旋转的知识进行说明，将△ABE绕着点B顺时针旋转至△CBD即可。
5> △AMB≌△CNB 6>AM=CN
7>BM=BN 8>∠AMB=∠CNB
9>△BDN ≌△BEM 10>DN=EM （BN=BM同上7>）
11>∠BND=∠BME
简析：在△ABE≌△CBD的条件下得到∠BAE=∠BCD，由已知AB=CB,∠ABC=∠CBN=60°,所以△AMB≌△CNB(ASA).所以AM=CN,BM=BN,∠AMB=∠CNB.同理△BDN≌△BEM,进而得到DN=EM,BN=BM,∠BND=∠BME。
12>△BMN是等边三角形
13>MN∥AD 14>∠AOC= ∠DOE=60°
15> 四边形BMON四点共圆
16>∠MOB=∠NOB(或者OB平分∠MON)
17>∠AOD=∠COB=∠BOE=120°
18>四边形ABOC与四边形BDEO均四点共圆
简析:由以上二组题得到的三角形全等知识可以知道MB=NB，又∠MBN=60°,所以△BMN是等边三角形.由∠ABC=∠BMN=60°, MN∥AD，在△AMB和△CMO中，由三角形内角和知识分析，可知∠ABC=∠COM=60°,进而得到∠AOC=∠DOE=60°.再由∠COA=∠BMN=60°(或∠AMB=∠CNB 或∠BND=∠BME）所以∠MBN+∠MON=180°(或∠BMO+∠ONB=180),得到四边形BMON四点共圆。在同圆的条件下得出等弦所对的圆周角相等，即∠MOB=∠NOB .由∠AOC= ∠DOE=60°能得出∠AOD=120°或由圆内接四边形的对角互补也可求出.∠COB=∠BOE=120°.从而∠CAB+∠COB=180°,∠BOE+∠BDE=180°.所以又可以得出四边形ABOC与四边形BDEO均四点共圆。
总之，知识在于不断的积累与生成，我们要在学习中不断地进行研究与探索，使自已在业务上更有长足的进步。并希望通过我的分析与点拨能给数学爱好者以帮助和启发。
以上内容同意编辑修改，敬请指导。
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