高中函数含参问题解题方法探究

马 佳 

［摘要］本文根据新课标高中数学教材，结合高中教学实际，设置了几个例题，浅谈了高中数学函数参数的解题思想和方法。

［关键词］等价转化 数形结合 分类讨论 构造法

函数与参数相结合的考察，成为拉开学生分数档次的具有一定难度的题目。之所以函数难学，实际上是含有参数的函数问题相对不好处理。下面笔者根据多年的教学实践浅谈高中函数参数问题的解题方法。

一、题型：与参数有关的“恒成立”问题及“存在性问题”

（一）恒成立问题

这类问题分成对函数x∈R结论对成立及在R上的某个子集成立两种题型，例如：

例1.若ax2+2x-1<0恒成立，求的a取值范围。这道题目是自变量在实数集R上的恒成立问题。

例2.x2+2x-a<0在x∈[-1,2]上恒成立，求a的取值范围。

例3.x2+ax+1>0在x∈(0,2)上恒成立，求a的取值范围。

以上两道是自变量在实数集上的一个子集的恒成立问题。

（二）存在性问题

例4.若存在x∈[-1,2]，使x2+2x-a<0成立，求a的取值范围。这道例题属于参数的存在性问题。

二、解题思想方法

（一）等价转化思想

我们常常要把参数问题等价转化为一个函数的值域问题，即通过加减乘除、开方乘方等运算把参数问题变成形如“a>f(x)或者a<f(x)”的问题。

对于“a>f(x)或者a<f(x)”恒成立问题，只需转化为函数的值域问题。

我们用此法来解决例2。

解：因为移项后代数式可化为a>x2+2x的形式，所以此题等价转化为求二次函数y=x2+2x，在x取值从-1到2时的值域问题，只需a的值大于二次函数在给定区间上的最大值，所以的取值范围是a>8。

因此再看一下例3。

解：因为移项后代数式可化为ax>-x2-1的形式，而x在给定区间上取值为正数，因此不等式两端同时处以正数x得到a>-x-1/x，所以只需求y=-x-1/x在x∈(0，2)的最大值，所以a>-2。

（二）数形结合思想

在解数学题中，一题多解的现象十分常见，特别是某些参数问题从几何角度来考虑，会更加直观，便于学生理解和接受。

例如例4.原不等式可化为a>x2+2x，存在x∈[-1，2]

由于本题是存在性问题，只需y=a的图像高于y=x2+2x的图像的情况出现即可，因此a>-1。

再如例5.若函数f(x)=|4x-x2|+a的图像与x轴有四个不同的交点，求参数a的取值范围。

解决该题时从几何角度着手会有事半功倍的效果，我们观察函数解析式，发现函数f(x)=|4x-x2|+a的图像是由二次函数图像先经过翻折变换，再进行竖直方向上的平移得来，所以我们可以先将其等价转化为方程|4x-x2|=-a的根的问题，在同一直角坐标系中分别做出函数的图像y=|4x-x2|和常函数y=-a的图像，平行移动y=-a的图像，并观察公共点的个数，满足四个点的直线的位置即为所求参数对应的取值相关范围。下面我们看看分类讨论思想在解决函数参数问题方面

的应用。

（三）分类讨论思想

有些参数问题需要分情形讨论，在此种方法中，分类的依据和原则很重要，做到不重不漏最为关键。比如例1，我们把不等式改写为ax2<1-2x，于是该题就转化为在x属于实数集时恒成立问题，对于此题我们要对其最高次项的系数与零

的关系进行分情形讨论。最后我们来看看构造思想在解题方面的应用。

（四）构造思想

用构造思想来解决高考压轴题目当中的含参数的函数问题一直是命题人的一个初衷，所以我们的高中学生在平时训练就应该重视和落实构造思想的渗透和应用。所谓“构造”，就是根据已知条件找出一个或几个你已经熟悉的可以解决的函数模型，实现化整为零，由未知到已知，由陌生到熟悉的逻辑推理过程。比如例6题，若a属于[-1，2]时，函数f(x)=ax2+2x+a-1的值恒大于0，求x的取值范围。

仔细观察后发现，求的是x的范围，而给定的却是a的范围，在训练题目中，往往给出自变量的范围解题比较容易处理，那么此题我们完全可以尝试交换习惯思维中自变量x和参数a的角色地位，即把左边看成是关于a含有参数x的一次

函数，这样一来问题就转化为g(a)>0或g(a)<0的一元二次不等式问题了。

三、总结与反思

数学以抽象、逻辑性强等特点成为最具理科特色的学科，对学习者提出了较高的要求。我们高中生在牢牢掌握基础知识、基本技能基础上，应该有征服活题和难题的欲望和行动，不断的挑战自我，超越自我。

【参考文献】

[1]数学学习与研究.东北师范大学出版社.2011.1.

[2]教育信息.辽宁省试验出版社,2010,双月刊总第208期.

[3]中学班主任工作.吉林教育出版社,2011.9.