例举函数思想在高中数学解题中的应用

张娟   

在数学教学中，按照大纲要求必须对学生进行相关数学思想渗透与培养.因为数学思想不仅是数学知识的重要组成部分，更是数学教学中进行素质教育的重要部分.

    本文就函数思想方面，讨论其在解题中的应用。即指运用函数的概念和性质，通过类比联想转化合理地构造函数，然后去分析、研究问题转化问题并解决问题.函数思想不仅体现在本身就是函数问题的高考试题中，而且对于诸如方程、三角函数、不等式、数列、解析几何等问题也常常可以通过构造函数来求解.

一、解与数列有关问题

   数列的实质是函数,用函数思想解数列问题能加深对数列概念及公式的理解,加强知识间的联系.

例1．等差数列{}的首项,前项的和为,若,问为何值时最大?

分析:运用数列中的通项公式的特点,把数列问题转化为函数问题解决.

解:依题意,设, 

  ,此函数是以为自变量的二次函数.

  ,, 

故二次函数的图象开口向下,

,当时,最大,但中,

当为偶数时, 时, 最大

  当为奇数时, 时, 最大.

二、解与三角函数有关问题

在解决三角函数相关问题时,我们应该注意到三角函数本身就是一种特殊的函数.

例2.为任意三角形的三个内角,求证:

对任意实数总成立.

分析:由原不等式得,要证此不等式成立,只需构造函数: ,证此函数在实数域至多有一解,即即可.

证明:设

   恒成立.

故成立.

 三、解与不等式有关问题

  有些不等式问题运用函数的观点去分析,推理证明过程简洁又明快.

例3.证明不等式:.

分析：一般证法是按或分类讨论,过程繁琐,若构造函数.利用函数的性质即可获得另一证法.

证明:设

    是偶函数，因此，当时，从而,于是时，,故当时，恒有，即.

四、解与解析几何有个问题

    多数解析几何问题,其中的某些点,线处在运动变化之中,这就引出了一些相互制约的量,他们之间可能构成函数关系,故用函数的思想方法处理这类问题时是很有效的.

例4.设椭圆的中心是坐标原点,长轴在轴上,离心率,已知点到这个椭圆上的点的最远距离是,求这个椭圆的方程,并求出椭圆上到点的距离等于的点的坐标.

分析:由题意可设椭圆的方程:,设其上一点到的距离为,则是关于的二次函数且,最远距离转化为二次函数取得最值问题.

解:设椭圆的方程:  (, 

  ,故

 设椭圆上的点到的距离为,则

,()

若,则当时,,,即与矛盾

若,则当时, ,  得,

故所求椭圆方程为,且椭圆上的点到点的距离等于.

五、求值相关问题

   求代数的值时,可以将代数式转化为函数式,利用函数的性质,可获得快捷解法.

例5.如果实数满足那么的最大值是            .(1990年高考题)

分析:由已知等式两边同除以得项,且得一关于的二次函数,求此函数最大即可.

解:由已知等式两边同除以得: 

，由得

当=2,即时，有最大值3,从而.

六、解与二项式有关的问题

例6.设，求

分析：本式为二项式展开式中的偶数项系数和，而不是偶数项二项式系数和，不能直接用二项式系数得性质求解，但可用构造函数来解

解：令

；

故

从上面的例子可以看到函数思想作为重要的数学思想之一,渗透在很多知识点里面,我们平时在教学与学习时应该多去发掘、培养、训练、强化这种思想，以期提高数学解题能力及数学思想素质.

   运用函数观点解决问题主要从下面四个方面着手：一、根据方程与函数的密切关系，可将二元方程转化为函数来解决；二、根据不等式与函数的密切关系，可将不等式问题转化为函数问题，利用函数的图像和性质进行处理；三、在解决实际问题中，常常涉及到最值问题，通常是通过建立目标函数，利用求函数最值的方法加以解决；四、中学数学中的某些数学模型（如数列的通项或前n项和，含有一个未知量二项式定理等）可转化为函数问题，利用函数相关知识或借助处理函数问题的方法进行解决。