函数与方程思想在高中数学解题中的应用

王永富  

函数作为高中数学的一条主线，它用联系和运动、变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系，形成变量数学的一大重要基础和分枝，方程思想是从问题的数量关系出发，运用数学语言将问题中的条件转化为方程、不等式或它们的混合组，通过解方程（组）、不等式（组）或其混合组使问题获解。包括待定系数法，换无法、转换法和构造方程法四个方面。

    函数思想与方程思想的联系十分密切。解方程f(x)＝0就是求函数y＝f(x)当函数值为零时自变量x的值；求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数y＝f(x)与y=g(x)的图像的交点或交点个数；它所研究的数学对象已经不是一些孤立的点，而是具有某种共性的几何曲线。正是这些联系，促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库。函数思想在高考中的应用主要是函数的概念。性质及图像的应用，包括显化、转换、构造、建立函数关系解题四个方面。

一.函数与方程两种思想是密切相关的，函数问题可转化为方程问题来解决；方程问题也可以用函数思想来处理.如求函数y=f(x)的零点，就是解方程f(x)=0；解不等式f(x)>0 （或f(x)<0），就是求函数y=f(x)值为正(负)时,所对应的自变量x的区间.

【例1】若方程2a＝|a^x－1|(a>0，a≠1)有两个实数解，求实数a的取值范围．

解：当a>1时，函数y＝|a^x－1|的图象如图①所示，显然直线y＝2a与该图象只有一个交点，故a>1不合适；

当0<a<1时，函数y＝|a^x－1|的图象如图②所示，要使直线y＝