一道习题的再思考
王一丹 张世军
在数学教学过程中，我们常对学生讲“万变不离其宗”，我们认为其“宗”字就是指课本。因为课本上的例题、习题的设计都是专家们经过反复琢磨，推敲，认真筛选后精心设置的，具有一定的代表性和探究性。无论在知识上，还是在解题方法上都值得我们去研究、去探讨、去挖掘。历年来的中考说明中也提出中考题型源于课本。因此，我们在教学过程中，要立足于课本，专研于课本中的例题与习题的研究，这样不但可以巩固我们的数学基础，加深对知识的理解与掌握，还可以培养学生的创新意识与创新能力，从而提高学生的数学素养。进而用数学的眼光去了解世界，认识世界。
现就对所任教的人教版七年级（下）数学课本中的第23页第7题的第（2）问进行了再思考，现简单列举如下，供同行们参考。
教材习题：
选择题（2）如图，如果AB∥EF∥CD，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=( )
(A) 180° (B) 270°
(C) 360° (D) 540°
简析：利用“两直线平行，同旁内角互补”。可以得到∠A+∠ACD+∠DCE+∠E=360°.故选C。其中CD在解题中起了一个非常重要的 “桥梁”作用。（以下说明中将此题看作例题）。
在研究平行线的性质与判定时，常见的几何图形是两条直线被第三条直线所截的体型。有时，我们也会遇到两条直线被一条折线所截的问题。如图（1），AB∥EF, ∠ABC+∠BCF+∠CFE的度数是多少呢？在图（2）中，AB∥EF, ∠ABC+∠BCD+∠CDF+∠DFE的度数又是多少呢？
通过思考，能否把它们转化为两条直线被第三条直线所截的图形，从而解决问题呢？你能找到那些转化方法。你能得到更一般的结论吗？
思考1：由一个折点变为两个折点，变为多个折点。折点在直线AC的左侧。
1、如图1，已知AB∥CD,则∠A+∠E1+∠E2+∠C=______ 度。
2、如图2，已知AB∥CD,则∠A+∠E1+∠E2+------+∠En +∠C=______ 度。
简析：1、作E1F1∥AB，E2F2∥AB，作出例题中的重要的“桥梁”。进而可以利用“两直线平行，同旁内角互补”的知识求解。图1中出现了3对同旁内角。可得答案为3×180=540度。
2、作E1F1∥AB,E2F2∥AB ,------，EnFn∥AB。引导学生观察对比，得出将出现（n+1）对同旁内角的结论。由“两直线平行，同旁内角互补”的性质，进一步得出答案为（n+1）×180=（180+180n）度。
思考2：折点在直线AC的左侧变为右侧，由一个折点变为多个折点。
3、如图3，已知AB∥CD,试确定∠A、∠E、∠C之间的关系。
简析：如图4，作EF∥AB，利用“两直线平行，内错角相等”可得∠E=∠A+∠C，（以下简说成左转角的度数之和等于右转角的度数之和）其中EF仍起一个重要的“桥梁”作用。
4、如图（5-6），已知AB∥CD，试确定“左转角的度数之和等于右转角的度数之和”之间的关系。
简析：以上两个图通过作出例题中的“桥梁”，便可得到“左转角的度数之和等于右转角的度数之和”相等的关系。
思考3：折点不在直线AB、CD之间，变为在直线AC的右侧。
5、如下图7-8，已知AB∥CD,试确定∠A、∠E、∠C之间的关系。
简析：作直线EF∥AB，继续利用“两直线平行，内错角相等”的知识求解，图7可得∠E=∠A-∠C，图8可得∠E=∠C-∠A。其中EF仍起一个“桥梁”的作用。
思考4：折点不在直线AB、CD之间，变为在直线AC的左侧。
6、如图9-10,已知AB∥CD,试确定∠A、∠E、∠C之间的关系。
简析：作直线EF∥AB，继续利用平行线的性质，图9可得∠E=∠A-∠C，图10可得∠E=∠C-∠A。其中EF仍起一个“桥梁”的作用。
如图，若将线段AB∥CD改为线段AB绕点A顺时针方向旋转一定角度交线段CD于点Q,则∠APC,∠A,∠C,∠AQC之间有何数量关系？
证明：过点P作PF∥CD交AB于点M.
所以∠FPC=∠C,∠AMF=∠AQC.
在三角形APM中，∠APF =∠AMF+∠A.
所以∠APC=∠APF+∠FPC
=∠A+∠C+∠AQC | 以上是我们在工作中的一点思考与发现，考虑到本学段学生的学习情况，我们仅列举了折点在直线AC两侧及折点在AB与CD内外部的不同题型，在解法上也只应用了平行线的知识，实际上，题型和解法还有很多，我们这里就不一一列举了。敬请同仁们及数学爱好者以此为平台多交流，多提宝贵意见。
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